3.3 Elipse

Definicion (Elipse)

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
Puntos de una elipse
Si 'F1' y 'F2' son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal (segmento F1D o F2D), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Dado que , también vale la relación:



La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Constante de la elipse

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco al punto (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo (color azul), como al (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro . En la animación, el punto recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación:
La ecuación paramétrica de una elipse es:
con Ѳ ∊(0.2,π) y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar


Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

Bibliografia:
WIKIPEDIA