3.4 Hiperbola

Definicion (Hiperbola)

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatrizrespecto del eje de revolución.

Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:
Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas (0,0)

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h,k)

Ejemplos:
a)

b)

Ecuaciones en coordenadas polares


Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétrica
Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Bibliografia:
wikipedia

3.3 Elipse

Definicion (Elipse)

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse.
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto puede estar ubicado en cualquier lugar del perímetro de la «elipse».
Puntos de una elipse
Si 'F1' y 'F2' son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es la razon entre su semidistancia focal (segmento F1D o F2D), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Dado que , también vale la relación:



La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Constante de la elipse

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco al punto (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo (color azul), como al (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro . En la animación, el punto recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).

Ecuaciones de la elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse viene definida por la ecuación:
La ecuación paramétrica de una elipse es:
con Ѳ ∊(0.2,π) y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar


Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

Bibliografia:
WIKIPEDIA

3.2 Parabola

Definicion (Parabola)
Conjuncion de todos los puntos P(x,y) en el plano que equidistan de un punto fijo F0 y de una recta fija L. El punto F0 es denominado foco de la parabola, la recta L es ls disectriz de la parabola.

La ecuacion de la parabola , con vertice en el origen de coordenadas v(0,0) y foco en el punto F0 (0, p), es:
x² = 4py

Basandose en la deduccion realizada, existen otros tres casos elementales de parabolas:

• Si el eje de simetria es vertical y el foco esta en el semieje negativo de las ordenadas F0(0, -p), la ecuacion es:
  x² = -4py


• Si el eje de simetria es horizontal y el foco esta en el semieje positivo de las abscisas F0 (p,0), la ecuacion es:
  y² = 4py


• Si el eje de simetria es horizontal y el foco esta en el semieje negativo de las abcisas F0(-p, 0), la ecuacion es :
  y² = -apx

Ejemplo Ecuacion de una parabola

Determine la ecuacion de la parabola con eje de simtetria horizontal que tiene su vertice en punto V(2, 2) y que contiene al punto P(1, 1).

Solucion:

Dado que el eje de simetria de la parabola es horizontal y por la ubicacion de los puntos V y P, la forma de su ecuacion sera:

(y-k)² = 4p (x-h)

Reemplazando las coordenadas del vertice, tenemos:

(y - 2)² = 4p (1 -2)

Puesto que el punto (1,1) pertenece a la parabola, debe satisfacer su ecuacion:

(1 -2)² = -4p (1 -2)

De donde:

4p = 1
p = 1/4

En base lo anotado, la ecuacion de la parabola seria

(y -2)² = -(x-2)

y² - 4y +4 = -x +2

y² +x -4y +2 =0 siendo v(2,2) y F0(7/4, 2)

Su grafica se presenta a continuacion:

Bibliografia:
Libro de fundamento de matematicas
Para Bachillerato Espol

3.1 Circunferencia

Definicion (Circunferencia)
Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo o(h, k). La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo O(h, k) es el centro de la circunferencia.

Forma canonica de la ecuacion de una circunferencia

(x - h)² + (y - k)² = r²

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (0, 0), la forma canonica de la ecuacion de la circunferencia es:

x² + y ² = r²

Forma general de la ecuacion de una circunferencia

A(x² + y²) + Dx +Ey +F =0; A.D.E.F ∊ R; ¬(A= 0)


Ejemplo Ecuacion de una circunferencia
Determine la ecuacion general de la circunferencia centrada en el punto O(5,-2) y cuya longitud del radio es 3

Solucion:
La solucion de P(x,y) al punto O(5, -2) es r = 3.
Para que el punto pertenezca a la circunferencia, se ha de verificar:

(x-5)² + (y + 2)² = 9
x² -10x + 4y + 20 = 0

Ecuacion de la recta tangente a una circunferencia

Un punto P puede pertenecer o no a la circunferencia, por lo tanto, se pueden dar las siguientes situaciones:

• Si el punto P pertenece a la circunferencia, existe una recta tangente. El radio es perpendicular a esta recta en dicho punto.



• Si el punto P es exterior al circulo, existen dos rectas tangentes. El centro del circulo equidista de dichas rectas en los puntos de tangencia.



• Si el punto P es interior al circulo, no existe la posibilidad de definir una recta tangente.
  
  

Ángulos respecto de una circunferencia


Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central,

si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito,

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.

Ángulo semi-inscrito,

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior,

si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

3 Secciones Conicas

Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.
Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos.
Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente no se conservó ejemplar alguno.
Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas. Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo alguno por mejorarla.
De esta conocida obra tan sólo se han conservado los cuatro primeros de sus ocho libros en el griego original. El matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, conservándose esta traducción hasta nuestros días. En 1710, el matemático inglés Edmund Halley publicó la primera traducción al latín de los siete libros conservados, y desde entonces se han sucedido las publicaciones en varias lenguas. Del octavo libro no se tienen muchas referencias.

Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la Teoría de la Probabilidad.
El padre de Pascal, Étienne Pascal, tenía una educación ortodoxa y decidió educar el mismo a su hijo. Decidió que Pascal no estudiara matemáticas antes de los 15 años y todos los textos de matemáticas fueron sacados de su hogar. Pascal, sin embargo, sintió curiosidad por todo esto y comenzó a trabajar en geometría a la edad de 12 años. Descubrió que la suma de los ángulos de un triángulo corresponden a dos ángulos rectos y cuando su padre comprobó esto se enterneció y entregó a Pascal un texto de Euclídes.
A la edad de 16 años Pascal presentó sólo un trozo de papel con escritos a las reuniones con Mersenne. Contenía un número de teoremas de geometría proyectiva, incluyendo incluso el hexágono místico de Pascal.
Pascal inventó la primera calculadora digital (1642). El aparato llamado Pascaline, se asemejaba a una calculadora mecánica de los años 1940.
Fomentó estudios en geometría, hidrodinámica e hidroestática y presión atmosférica, dejó inventos como la jeringa y la presión hidráulica y el descubrimiento de la Ley de Presión de Pascal.
Apolonio de Perga

2.5 Distancia de un punto

Ejemplo Distancia de un punto a una recta

Determine la distancia del punto P0(-2, 1) a la recta L, cuya ecuacion es 2x - 3y + 2=0.

Solucion:
La distancia de P0 a L, se calcula con:

d(P0,L) = (2)(-2) + (-3)(1)+2
√(2)² + (-3)²

= -4-3+2
√4+9

= 5
√13

d(P0,L) = 5√13
13

El punto P0 se encuentra a 5√13 unidades de la recta L.
13

Ejemplo Ecuacion de una recta

Determine la ecuacion de la recta L que contiene al punto P0(3/4, 1/4) y que forma un angulo de medida Ø con el semejante x positivo, tal que cos (Ø) = 3/√34.
Solucion:

Para determinar la ecuacion de la recta L solicitada, debemos contar con un punto que pertenece a ella y su pendiente. El punto es conocido: P0 (3/4, 1/4).

2.4 Pendiente de una recta

La tangente del angulo que una recta forma con la direccion positiva del eje x se denomina pendiente de una recta, la cual puede denotarse por m = tan(Ø).
La pendiente de una recta o de un segmento puede considerarse como la razon elevacion/avance, tal como aparece en la figura

En general, la pendiente de una recta esta determinada por el cambio en la distancia (Y1,-Y2), divide entre el cambio en la distancia horizontal (X1,-X2)

Definicion (Pendiente de una recta)

Si y= y2, su pendiente es cero. Si x1=x2, la pendiente de la recta usualmente se denota por el simbolo " ∞" y se dice que es infinita; ∞ no es un numero, es una forma de decir que no esta definida.
Los ejemplos siguientes muestran que la pendiente de una recta puede ser positiva, negativa, cero o infinita.
Si una recta paralela al eje x se representa de la forma y = k, donde k es una constante real. Su interpretacion practica esta en el hecho que la variable y no varia si la variable x cambia. Esta situacion se presenta, por ejemplo, en un movil con la velocidad constante en el plano Velocidad vs Tiempo.


Ejemplo Ecuacion de una recta

Determine la ecuacion de la recta L que contiene al punto P0(4, 2) y que es paralela al eje x.
Solucion:
Encontraremos la ecuacion de la recta L, conociendo un punto que pertenece a ella y su pendiente.
El punto que contiene es P0=(4, 2) y su pendiente sera m= 0, ya que es paralela al eje x.+
Luego, aplicando la forma de la ecuacion para L, tenemos:
P(x, y) ∊ L=y-y0=m(x-x0)
P0(4, 2) ∊ L = y - 2 = 0(x - 4)
La ecuacion de la recta L seria:
L: y = 2
Notese que todos los puntos cuya coordenada es 2, pertenecen a la recta solicitada.
Veamos la grafica de L:

2.3 Ecuación de la recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente , es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuación de la recta
Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):


Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)
Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:
(0,b)y(a,0)
Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación y − y1 = m(x − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):










Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:




Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes


Forma normal de la ecuación de la recta
Esta es la forma normal de la recta:

Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.
Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue: