3.1 Circunferencia

Definicion (Circunferencia)
Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo o(h, k). La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo O(h, k) es el centro de la circunferencia.

Forma canonica de la ecuacion de una circunferencia

(x - h)² + (y - k)² = r²

Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (0, 0), la forma canonica de la ecuacion de la circunferencia es:

x² + y ² = r²

Forma general de la ecuacion de una circunferencia

A(x² + y²) + Dx +Ey +F =0; A.D.E.F ∊ R; ¬(A= 0)


Ejemplo Ecuacion de una circunferencia
Determine la ecuacion general de la circunferencia centrada en el punto O(5,-2) y cuya longitud del radio es 3

Solucion:
La solucion de P(x,y) al punto O(5, -2) es r = 3.
Para que el punto pertenezca a la circunferencia, se ha de verificar:

(x-5)² + (y + 2)² = 9
x² -10x + 4y + 20 = 0

Ecuacion de la recta tangente a una circunferencia

Un punto P puede pertenecer o no a la circunferencia, por lo tanto, se pueden dar las siguientes situaciones:

• Si el punto P pertenece a la circunferencia, existe una recta tangente. El radio es perpendicular a esta recta en dicho punto.



• Si el punto P es exterior al circulo, existen dos rectas tangentes. El centro del circulo equidista de dichas rectas en los puntos de tangencia.



• Si el punto P es interior al circulo, no existe la posibilidad de definir una recta tangente.
  
  

Ángulos respecto de una circunferencia


Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central,

si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito,

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.

Ángulo semi-inscrito,

si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior,

si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.