domingo, 27 de septiembre de 2009

1.12 PREDICADOS


Definicion (Predicados de una variable)

Son expresiones en terminos de una variable que al ser remplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces, la expresion p(x) se definira como predicado.

La notacion para los predicados sera: p(x), q(x), r(x), etc.

Ejemplo Predicados

Dado Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p(x): x es impar.

Si x = 3, p(3): es impar, es una proposicion verdadera.


Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposicion falsa.

Por lo tanto, p(x) es un predicado

Ejemplo Predicados Compuestos

Para el Re y p(x) dados en ejemplo anterior,considere:

q(x): x <>

La expresion: ¬p(x) ⋀ q(x) tambien es un predicado.

Si x = 2: [¬p(2) ⋀ q(2)] ←→ 0

Si x = 3: [¬p(3) ⋀ q(3) ] ←→ 1

Definicion ( Conjunto de verdad de un predicado)

Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposicion verdadera. la notacion a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como:

Ap(x) = {x/(x ∊ Re) ⋀ (p(x)←→1}

Ejemplo Conjuntos de verdad

Con referencia a los tres ejemplos anteriores:

Ap(x) = {1, 3, 5}

Aq(x) = {1, 2, 3, 4 }
Ar(x) = {2}

Ejemplo Complementos de conjuntos de verdad

Partiendo de los mismos ejemplos ya citados anteriormente, se puede concluir que:

A¬p(x) = {2, 4, 6}
A¬q(x) = {5, 6}
A¬r(x) = {1, 3, 4, 5, 6}

Definicion ( Valor de verdad de proposiciones con cuantificadores)
Una proposicion que contiene un cuantificador universal es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de expresion abierta.

∀xp(x)←→(Ap(x) = Re)
Una proposicion con uno cuantificador existencial es verdadera si y solo si el conjunto de verdad del predicado no es vacio.
∃(p(x)←→ ¬(Ap(x) = Ø)












1.11 Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Ejemplo Cardinalidad de Conjuntos
Determine el porcentaje de alumnos que practican futbol y basquet, si al entrevistar a 1000 estudiantes se obtuvieron los siguientes resultados:
  • 600 practican futbol.


  • 500 practican basquet.

  • 150 no practican futbol ni basquet.

Solucion

A partir de la informacion dada, tenemos que:


Ejemplo Cardinalidad de Conjuntos

Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de television donde preferian ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados:

620 veian teleamazonas; 400 veian Canal uno; 590 veian Ecuavisa; 195 veian teleamazonas y canal uno; 190 prefirian ver canal uno y ecuavisa; 400 veian teleamazonas y ecuavisa; 300 prefirian ver teleamazonas y ecuavisa pero no canal uno.

Determine el numero de personas que no ven estos canales.

Solucion:

A partir de la informacion obtenida se deduce que:

N(Re) = 1000
N(T) = 620
N(C) = 400
N(E) = 590
N(T ⋂ C) = 195
N(C ⋂ E) = 190
N(T ⋂ E) = 400
N(T ⋂ E) = 300

Si N(T ⋂ E) = 400 y N[(T ⋂ E) - C ] = 300, entonces N(T ⋂C ⋂ E) = 100.

Luego:

N(T ⋃ C ⋃ E) = N(T) + N(C)+ N(E) - N(T ⋂ C) -N(C ⋂ E) -N(T ⋂ E) + N(T ⋂ C ⋂ E)

N(T ⋃ C ⋃ E) = 620 + 400 + 590 - 195 - 190 - 400 + 100

N(T ⋃ C ⋃ E)) = 925

N(T ⋃ C ⋃ E)ͨ = N(Re) - N(T ⋃ C ⋃ E) = 1000-925 = 75


75 personas no ven estos canales

1.10 Operaciones entre conjuntos

Definicion (Union entre conjuntos)
La union entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elmentos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A ⋃ B y se define como:
A ⋃ B = {x/(x ∊ A) ⋁ (x ∊ B) }

Definicion (Interseccion entre conjuntos)
La interseccion entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y el conjunto B. Se denota por A ⋂ B y se define como:


A ⋂ B = {x/(x ∊ A) ⋀ (x B)}


Definicion (Diferencia entre conjuntos)

La diferencia entre conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto B. Se denota por A-B y se define como:

A-B = {x(x/ ∊ A) ⋀ ¬(x ∊ B )}




Definicion (Diferencia simetrica entre conjuntos)

La diferencia simetrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A ∆ B = (A-B) ⋃ (B-A), o
tambien:

A ∆ B = {x/[(x ∊ A) ⋀ ¬(x ∊ B)] ⋁ [(x ∊ B) ⋀ ¬(x ∊ A)]}


Definicion (Complementacion de conjuntos)

La complementacion de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenezcan al conjunto A. Se denota por Ac ={x (x/ ∊ Re) ⋀ ¬( x ∊ A ) }

sábado, 26 de septiembre de 2009

1.9 Relaciones entre conjuntos


Definición (Igualdad entre conjuntos)

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbolicamente, este concepto se representa por:

(A = B) ←→ [(A ⊆ B) ⋀ (B ⋀ A)]

Usando las definiciones y las propiedades de la logica proposicional, se tiene:
(A = B ) ←→∀x[(x ∊ A) ←→ (x ∊ A )]

Definición (Conjuntos disjuntos e intersecantes)

Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y solo si A y B no tienen elementos en comun. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y solo si A y B tienen al menos un elemento comun.

1.8 Cuantificadores

Definición (Cuantificador Universal)
Cualquier expresion de la forma: "para todo", "todo", "para cada", "cada",, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.

Definición (Cuantificador Existencial)
Cualquier expresion de la forma: "existe", "algun", "algunos", "por lo menos uno", "basta que uno", constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.

Ejemplo Cuantificadores.

∀x, 2x + 3x = 5x Se lee " Para todo numero x se cumple que 2x+3x = 5x"
∃x, 2x + 2 = 4 Se lee " Existe al menos un numero x, para el cual 2x+2=4"

Definición (Subconjunto)
El conjunto A es subconjunto de B si y solo si los elementos de A estan contenidos en B. Simbolicamente este concepto se representa por:

(A ⊆ B) ←→∀x [(x ∊ A) →(x ∊ B)]

Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) ⋀ ¬(A = B )]

Definicion (Conjunto Potencia)
Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que esta formado por todos los subconjuntos posibles de A. El simbolo que se utiliza para este conjunto es P(A).

P(A) = {B/B ⊆ A}

Ejemplo Conjunto Potencia

Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = {Ø, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}.
A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:

{*, +} ⊂A
{*, A} ∊ P(A)
∅ ∊ P (A)

Observe que N(P(A)) = 2 = 8.

1.7 Conjuntos

Definición (Conjunto).
Un conjunto es una colección, reunion, o agrupacion de objetos que poseen una caracteristica o propiedad comun bien definida.

Ejemplo Conjuntos

Algunas agrupaciones que representan conjuntos son:

  • Los numeros enteros.

  • Los habitantes de la luna.

  • Los animales en extincion.

  • Los numeros primos.

  • Los paquetes de software.

  • Los operadores de telefonia celular.

La descripcion de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras:

  • POR COMPRESION, para referirnos a algina caracteristica de los elementos.

  • POR EXTENSION o TABULACION, para cuando se listan todos los elementos.

  • POR medio de DIAGRAMAS de VENN, cuando se desea representarlo graficamente.


Ejemplo Descripcion de conjuntos.

Por Compresion:

A = {x/x es consonante de la palabra amistad}

Por Extension o Tabulacion:

A = {d, m, s, t}

Por Diagrama de venn:

Definicion (Cardinalidad)
Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el simolo N(A).

Ejemplo Cardinalidad de Conjuntos.

A = {x/x es un digito impar en el sistema de numeracion decimal}
N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Conjuntos Relevantes

Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

  • A es un VACIO, si no tiene elementos. El simbolo que se utiliza para representar al conjunto vacio es Ø. N(A) = 0.
  • A es UNITARIO si tiene un unico elemento. N(A) = 1
  • A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.
  • A es INFINITO si no tiene una cantidad infinita de elementos.
  • A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El simbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

Ejemplo Conjuntos Relevantes.

Conjunto Vacio:
A = { x/x es un numero par e impar a la vez}

Conjunto UNITARIO:
A = {*}

Conjunto Finito:
A ={x/x es habitante del Ecuador}

Conjunto INFINITO:
A = {x/x es un numero entero}

Conjunto REFERENCIAL o UNIVERSO:
A = {x/x es una letra del alfabeto español}


1.6 Razonamientos

Definición (Razonamientos)

Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjuncion de proposiciones denominadas premisas o hipotesis, la condicional como operador logico principal; y , una proposicion final denominada conclusion.

Las premisas o hipotesis corresponden al antecedente de la implicacion, mientras que la conclusion es su consecuente.

[H1 ^ H2 ^ H3… ^Hn] C

Conjunción de Hipotesis CONDICIONAL Conclusion
ANTECEDENTE Operador Logico Consecuente


Definición (Validez de un razonamiento)

Un razonamiento es valido cuando la forma proposicional que representa su estructura logica es una tautologia. Si dicha forma proposicional es una contradiccion o contingencia, entonces el razonamiento no es valido, en cuyo caso se denomina falacia.



Ejemplo Demostracion por reduccion al absurdo.

Las hipotesis y la conclusion son:

H1: a→b

H2: c→¬b

H3: cѵ¬d

C: ¬a

La estructura logica del razonamiento sera:

[(a→b)⋀(c→¬b)⋀(cѵ¬d)]→¬a

A partir de esta proposicion puede obtenerse la siguiente forma proposicional:

A⟺[(p→q)⋀(r→¬q)⋀(rѵ¬s)]→¬p


1.5 Propiedades de los Operadores Lógicos




Ejemplo Demostracion de propiedades de los operadores logicos.

Si se requiere demostrar la equivalencia logica: [(p ⋀ q)→r] = [p→(q→r)] se puede emplear tablas de verdad o propiedades de los operadores logicos.

Solucion:




1.4 Formas Proposicionales


Definición (Formas Proposicionales).
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores logicos que las relacionan.

Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español
A, B, C..


Observaciones
* Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y, por lo tanto, no serán consideradas proposiciones. Si cada variable proposicional es reemplazada po una proposicion simple o compuesta, la forma proposicional se convierte en una proposicion.

*Si reemplazamos a las variables proposicionales por proposiciones verdaderas o falsas, el numero de proposiciones que se generan es 2n , siendo n el numero de variables proposicionales.

*Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores logicos para formar nuevas proposicionales. Dadas A y B, los simbolos ¬A, A^B, AvB, A→B y A←→B representan nuevas formas proposicionales.


sábado, 19 de septiembre de 2009

1.3 Proposiciones simples y compuestas.

Definicion 1.10 (Proposiciones simples y compuestas)
Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador logico alguno. Las proposiciones compuestas estan formadas por otras proposiciones y operadores logicos.

Ejemplo: 1.20 Traduccion al lenguaje simbolico.
Traduzca al lenguaje simbolico la proposicion:

"Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los indices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los indices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla".

Solucion:
Se puede identificar las siguientes proposiciones simples:

a: La seguridad privada es efectiva.

b: Los indices de asalto disminuyen en la ciudad.

c: El turismo se desarrolla.

Los operadores logicos que se encuentran presentes en esta proposicion compuesta son la condicional, la conjuncion y la negacion.

La traduccion es:

[(a→(b^c))^(¬b^a)]→(¬c)

Ejemplo 1.21 Determinacion de valores de verdad.

Bajo la suposicion de que los valores de verdad de las proposiciones simples a,b,c y d son respectivamente 0,0,1,1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:

a) ¬(avb)→(c^¬d)
b)¬(c←→a)v(b^d)

Solucion:
a) ¬(0v0)→(1^0)
¬(0)→0
1→0
0

El valor de verdad de esta proposicion es falso.

b) ¬(1←→0)v(0^1)
¬(0)v0
1v0
1

El valor de verdad de esta proposicion de esta proposicion es verdadera.

jueves, 17 de septiembre de 2009

1.2 Operadores logicos.

Definición 1.4 (Negación)
Sea a una proposición, la negación de a , representada simbólicamente por ¬a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad.


La negación se presenta con los términos gramaticales: "no","ni","no es verdad que","no es cierto que".

Ejemplo 1.6 Negación de proposiciónes.

Si Se tiene la proposición

a: Tengo un billete de 5 dolares.

La negación de a es: ¬a: No tengo un billete de 5 dolares.

Definición 1.5 (Conjunción)


La proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. La conjunción se presenta con los terminos gramaticales: "y","pero","mas",y signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.


Ejemplo 1.8 Conjunción

Si se tienen las proposiciones:

a: Trabajo mucho.

b: Recibo un bajo sueldo.

La conjunción entre a y b se puede expresar como:

a^b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo.


Definicion 1.6 (Disyunción)

Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbolicamente por aѵb, es una nueva propocisión, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad:

La proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

Ejemplo: 1.10 Disyunción de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo un libro de trigonometría.

b: Tengo un libro de Álgebra.

La disyunción entre a y b es:

aѵb: Tengo un libro de trigonometría o uno de Álgebra.

Existe la posibilidad de poseer ambos libros, razón por la cual esta disyunción recibe el nombre de disyunción inclusiva. La expresión "o estoy en Quito o estoy en Guayaquil" denota la imposiblidad de estar fisicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo

Definición 1.7 (Disyunción exclusiva)

Sean a y b proposiciones, la disyuncion exclusiva entre a y b, representada simbolicamente por aѵb, es una proposicion, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad:

La proposicion resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. La disyunción se presenta con el termino gramatical "o","solo","solamente","o....,o...".

Ejemplo 1.11 Disyunción exclusiva de proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Estoy en Quito.

b: Estoy en Guayaquil.
La disyunción exlusiva entre a y b es:

aѴb: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil.

Definición 1.8(Condicional).

Se representa simbolicamente por a→b, es una nueva proposicion, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:


En la proposición a→b, a es el antecedente, hipotesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso.

En español, la proposición a→b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: "si a, entonces b", "a sólo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a,b", "b con la condición que a", "b cuando a", "b siempre que a", "b cada vez que a ", "b puesto que a", "b porque a", o cualquier expresión que denote causa y efecto.

Ejemplo 1.12 condicional proposiciones.

Si se tienen las proposiciones:

a: Juan gana el concurso..

b: Juan dona $10000.


La condicional entre a y b es:

a→b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10000.

Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a→b, las cuales se denominan: reciproca, inversa y contrarreciproca (o contrapositiva)

La Reciproca, es representada simbolicamente por: b→a.

La Inversa, es representada simbolicamente por: ¬a→b.

La Contrarreciproca, es representada simbolicamente por: ¬b→¬a.

Ejemplo 1.13 Variaciones de la condicional.

A partir de la proposicion:

"Si es un automovil, entonces es un medio de transporte".

La Reciproca seria:

"Si es un medio de transporte, entonces es un automovil".

La Inversa seria:

"Si no es un automovil, entonces no es un medio de transporte".

La Contrarreciproca seria:

"Si no es un medio de transporte, entonces no es un automovil".

Definicion 1.9 (Bicondicional)

Representada por a←→b, es una nueva proposicion, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad:

La proposicion a ←→b sera verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. Tambien se puede observar que la proposicion a←→b sera falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes.
En español, la proposicion a←→b se puede encontrar con los siguientes terminos gramaticales: "a si y solo b ", "a si y solamente si b", "a implica b y b implica a", "a cuando y solo cuando b".

Ejemplo 1.19 (Bicondicional)

Dadas las proposicones:

a: Un triangulo es equilatero.

b: Un triangulo es equiangulo.

Las bicondicional entre a y b es:

a←→b: Un triangulo es equilatero si y solo si es equiangulo.



1.1 Proposiciónes

Definición 1.1 (Proposición)
Una Proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa.

Ejemplo 1.1 Oraciones que son proposiciones.

5 es un número primo

-17 + 38 = 21.

Todos los números enteros son positivos..

Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisión y sin ambiguedades o subjetivismo. Usualmente, las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan para representar proposiciones.


Ejemplo 1.2 Representación simbólica de proposiciones.

5 es un numero primo puede ser representada por la letra a, de la forma:

a: 5 es un numero primo.


Ejemplo 1.3 Operaciones que no son propociones.

Lava el auto, por favor.

Hola, ¿cómo estas?

¡ Apurate

x + 5 = 9


Definición 1.2 (Valor de Verdad)

El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.


Definición 1.3 (Tabla de verdad)

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podria tomar una proposición.


Ejemplo 1.4 Construcción de tablas de verdad.



Logica Matemática

LA LOGICA ES UN METODO DE RAZONAMIENTO QUE NO ACEPTA CONCLUSIONES ERRÓNEAS.ESTO SE PUEDE LOGRAR DEFINIENDO EN FORMA ESTRICTA CADA UNO DE LOS CONCEPTOS.TODO DEBE DEFINIRSE DE TAL FORMA QUE NO DE LUGAR A DUDAS O IMPRECISIONES EN LA VERACIDAD DE SU SIGNIFICADO.NADA PUEDE DARSE POR SUPUESTO, Y LAS DEFINICIONES DE DICCIONARIO NO SON NORMALMENTE.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.